Արտագծյալ քառանկյուն

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունում արտագծյալ քառանկյուն է կոչվում այն ուռուցիկ քառանկյունը, որի բոլոր կողմերը կարող են շոշափել նույն շրջանագիծը։ Այս շրջանագիծը կոչվում է քառանկյանը ներգծված շրջանագիծ։ Արտագծյալ քառանկյունը արտագծյալ բազմանկյան մասնավոր դեպք է։ Ի տարբերություն եռանկյունների, ոչ բոլոր քառանկյուններին է հնարավոր ներգծել շրջանագիծ։ Ինչպես օրինակ ուղղանկյունը, որը քառակուսի չէ։

Մասնավոր դեպքեր

Արտագծյալ քառանկյան օրինակ են դելտոիդները, որոնց մեջ են մտնում շեղանկյունը և քառակուսին։ Արտագծյալ քառանկյան մասնավոր օրինակ է արտագծյալ սեղանը։

Հատկություններ

Արտագծյալ քառանկյան մեջ բոլոր չորս անկյունների կիսորդները հատվում են ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնում։ Եթե ուռուցիկ քառանկյան բոլոր չորս անկյունների կիսորդները հատվում են մի կետում, ուրեմն այդ քառանկյունը արտագծյալ քառանկյուն է, իսկ հատմակ կետը՝ ներգծյալ շրջանակծի կենտրոնը^[1]։

Ըստ Պիտոտի թեորեմի՝ արտագծյալ քառանկյան հանդիպակաց կողմերի գումարները հավասար են, որը նաև հավասար է քառանկյան կիսապարագծին․

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

Եթե ուռուցիկ քառանկյան մեջ ճիշտ է a + c = b + d հավասարումը, ուրեմն այն արտագծյալ քառանկյուն է^[1]^[2]^:էջ.65։

Եթե ABCD ուռուցիկ քառանկյան (որը սեղան չէ) հանդիպակաց կողմերը հատվում են E և F կետերում, ուրեմն այդ քառանկյունը արտագծյալ է այն և միայն այն դեպքում, երբ^[1]

\displaystyle BE+BF=DE+DF

կամ

\displaystyle AE-EC=AF-FC.

ABCD ուռուցիկ քառանկյունը արտագծյալ է այն և միայն այն դեպքում, երբ ABC և ADC եռանկյունների ներգծած շրջանագծերը շոշափում են իրար^[2]^:էջ.66։

1954 թվականին Այսիֆեսքուն ապացուցել է, որ ուռուցիկ քառանկյանը հնարավոր է ներգծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, երբ^[3]

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.

։

Մակերես

Ոչ-եռանկյունաչափական բանաձևեր

Արտագծյալ քառանկյան K մակերեսը հավասար է՝

\displaystyle K=r\cdot s,

որտեղ s-ը քառանկյան կիսապարագիծն է, իսկ r-ը՝ ներգծված շրջանագծի շառավիղը։ Մակերեսը կարելի է հաշվել նաև այս բանաձևով^[4]՝

\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}

որտեղ մակերեսը ներկայացվում է p, q անկյունագծերով և a, b, c, d կողմերով։

Ծանոթագրություններ

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Andreescu, Titu and Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, pp. 64–68.
↑ ^2,0 ^2,1 Josefsson, Martin (2011), «More Characterizations of Tangential Quadrilaterals» (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016-03-04-ին, Վերցված է 2016-12-11-ին.
↑ Minculete, Nicusor (2009), «Characterizations of a Tangential Quadrilateral» (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016-03-03-ին, Վերցված է 2016-12-11-ին.
↑ Durell, C.V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover reprint, 2003, pp. 28–30.

Արտաքին հղումներ

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Արտագծյալ քառանկյուն կատեգորիայում։

Weisstein, Eric W., "Tangential Quadrilateral", MathWorld.

[Andreescu-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Andreescu, Titu and Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, pp. 64–68.

[Josefsson2-2] 2,0 ^2,1 Josefsson, Martin (2011), «More Characterizations of Tangential Quadrilaterals» (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016-03-04-ին, Վերցված է 2016-12-11-ին.

[Minculete-3] Minculete, Nicusor (2009), «Characterizations of a Tangential Quadrilateral» (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016-03-03-ին, Վերցված է 2016-12-11-ին.

[Durell-4] Durell, C.V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover reprint, 2003, pp. 28–30.

[1]

[2]

[3]

[4]